unidad II.

 tema: limites y continuidad 

subtema 2.1
Definición de limite

El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.

Intuitivamente, el hecho que una función f alcance un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente próximos a c, sin importar el valor que pudiera adquirir o en el punto c.¹

Si la función  tiene límite  en  podemos decir de manera informal que la función  tiende hacia el límite  cerca de  si se puede hacer que  esté tan cerca como queramos de  haciendo que  esté suficientemente cerca de siendo  distinto de .

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

subtema 2.3

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo  existe un  tal que para todo número real x en el dominio de la función . subtema 2.2 propiedades de los limites  forman una parte fundamental del cálculo en las Matemáticas. De hecho, el primer punto en el concepto del cálculo está marcado por los límites. Los límites pueden ser entendidos fácilmente al observar sus propiedades. Las Propiedades de los límites implican operaciones que se pueden emplear con el fin de simplificar el límite de una función y convertirlos en una forma mucho más sencilla. Estas propiedades pueden utilizarse con el fin de encontrar los límites de las combinaciones de dos o más funciones o para demostrar si el límite de la función existe o no. Cuando se trata con la combinación de dos o más funciones, por lo general, los límites de las funciones se calculan individualmente, con la ayuda de estas propiedades, y por último combinando estos con el fin de llegar al resultado final. Estas propiedades expresan que el resultado será el mismo si el límite es tomado primero y después se realiza el álgebra o realizando el álgebra primero y luego tomando los límites. Las propiedades de los límites, también conocidas como “Teoremas De Límite Central “, se pueden establecer como: 1). El límite de una función siempre es único y es por esta razón que siempre se refiere a estos como “El Límite” y no simplemente límite. Esta propiedad básica se puede demostrar como: Si  y,  Entonces, L1 = L2 2). El límite de la sumatoria de dos funciones es igual a la suma de los límites de las dos funciones por separado. 3). Del mismo modo, el límite de la resta de dos funciones es igual a la resta de los límites de las dos funciones por separado. 4). El caso similar se puede demostrar con la multiplicación, es decir, 5). Para la división, la regla básica es similar a la de la suma y la resta. Sin embargo, en el caso de la división, , esto es, se debe tener cuidado para que el denominador no se convierta en 0 ya que dará lugar a un “error cero”. 6). Una constante que se multiplica con el límite, se puede tomar fuera del límite sin afectar el resultado. Es decir, 7). El límite de un número fijo o inmutable es un número fijo en sí mismo. 8). El límite global de la proporción (cociente) de dos funciones es la proporción del límite de las dos funciones por separado.    9). Límite de la Función Exponencial: De acuerdo a esta propiedad, 10). Límite de una Función Logarítmica: De acuerdo a ella, 11). Teorema de Estricción: Considerando el caso f® g® h® para r acercarse a x .Si Entonces, Es decir, la función g® se dice que esta ‘apretada’ entre f ® y g® y que tienen los mismos límites. Los “Teoremas De Límite Central” también son verdaderos para los límites izquierdos así como para los límites derechos. La aplicación de las propiedades de los Límites se puede ver en el siguiente ejemplo: Suponga que el límite de la ecuación  será encontrado: Usando la propiedad del cociente, los límites se pueden aplicar al numerador y al denominador por separado, es decir, De acuerdo a la 5ta propiedad, la constante se puede tomar fuera del alcance del límite Luego aplicando la propiedad de la sumatoria y separando los límites en dos límites individuales en el denominador, obtenemos Por último, aplicando el valor de los límites de la ecuación correspondiente ==> 81

subtema 2.3
limites laterales

subtema 2.4
limites al infinito

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, si fijado un número real positivo K > 0 se verifica que f(x) > k para todos los valores próximos a a.

Ejemplo

Límite menos infinito

Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x  a, si fijado un número real negativoK < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.

Ejemplo

subtema 2.5

continuidad y discontinuidad

subtema 2.6
Aplicaciones a las ciencias económicos administrativas: interés compuesto continuamente, limite de la función costo promedio 

lo que aprendí fue que este concepto se utiliza para definir  los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad , derivación, integración entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclidiano  es la clase de conjuntos abiertos sin inducidos  por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite