Matematicas 1

unidad III

tema: Derivada de una función

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.

Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denominadiferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denomina cálculo diferencial.¹

subtema 3.1

Definición de la derivada

https://www.youtube.com/watch?v=xx6bIjehplA

subtema 3.2

Diferenciación de funciones por incremento

Si f(x) es una función derivable, la diferencial de una funcióncorrespondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h.

La diferencial de una función se representa por dy.

Interpretación geométrica

La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable.

Ejemplos

Aplicamos la definición de logaritmo:

Un cuadrado tiene 2 m de lado. determínese en cuánto aumenta el área del cuadrado cuando su lado lo hace en un milímetro. Calcúlese el error que se comete al usar diferenciales en lugar de incrementos.

Hallar la variación de volumen que experimenta un cubo, de arista 20 cm, cuando ésta aumenta 0.2 cm su longitud.

Calcula el error absoluto y relativo cometido en el cálculo del volumen de una esfera de 12.51 mm de diámetro, medido con un instrumento que aprecia milésimas de centímetro.

Si el lugar de raíz

se halla

. ¿Cuáles son las aproximaciones del error absoluto y relativo?

subtema 3.3

La derivada como razón de cambio

https://www.youtube.com/watch?v=DDdvJJOqXMo

subtema 3.4

Diferenciabilidad y continuidad

Derivada; Diferenciabilidad

La derivada de una función f en el punto a en su dominio se define por

f'(a)

lim
h

f(a+h) - f(a)

Decimos que la función f es diferenciable en el punto a en su dominio si f'(a) existe.

Diferenciable en un subconjunto del dominio
La función f es diferenciable en el subconjunto S de su dominio si es diferenciable en cada punto de S.

Nota

Una función puede fallar ser diferenciable en el punto a si

lim
h

f(a+h) - f(a)

no existe, o es infinito.

En el primer caso, a veces tenemos una cúspide en la gráfica, y en el último caso, obtenemos un punto de tangencia vertical.

subtema 3.5

Reblas básicas de derivación: la derivada de una constante, de una constante por una función, de suma o resta de funciones, y del producto o de cociente de funciones.

Una función de grado n, donde n es un exponente real, se representa por

f(x)=x^{n}

y su derivada es

f'(x)=nx^{n-1}

Algunos tipos de este tipo de funciones son: Función cuadrática, función cúbica, entre otras.

Por ejemplo la función:

f(x)=x^{3}

Lo primero es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, así:

f'(x)=3x^{3-1}

Quedando finalmente:

f'(x)=3x^{2}

Considérese la función

f(x)= x^{1/3}\,

Se tiene:

f\ '(x)= 1/3*x^{-2/3}

Derivada de una constante por una función[editar]

Cuando una función esté representada por medio de

f(x)=cx^{n}

, su derivada equivale a

f'(x)=n(cx^{(n-1)})

de la siguiente manera:

Consideremos la siguiente función:

f(x)=8x^{4}

, lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaña, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente:

f'(x)=4(8x^{4-1})

Para obtener

f'(x)=32x^{3}

Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada será el valor de la constante:

f(x)=7x

Entonces su derivada con respecto a esta variable será:

f'(x)=7

Puesto que

x^{0}=1

Derivada de una suma¹ [editar]

Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cada una.

Es decir,

(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)

\frac{d[f(x)+g(x)]}{dx}=\frac{df}{dx}+\frac{dg}{dx}

Como ejemplo consideremos la función

f(x)=3x^{5}+x^{3}

, para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada término aparte y la suma de ambos será la derivada de la función:

f '(x)=15x^{4}+3x^{2}

Derivada de un producto[editar]

Artículo principal: Regla del producto (cálculo)

La derivada se expresa literalmente de la siguiente forma:

"La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar."

Y matemáticamente expresado por la relación

(f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g' \,

. Consideremos la siguiente función como ejemplo:

h(x)=(4x+2)(3x^{7}+2)

Identificamos a

f(x)=(4x+2)

g(x)=(3x^{7}+2)

, utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemos que:

f'(x)=4

y que

g'(x)=21x^{6}

Por lo tanto

h'(x)= 4\cdot(3x^{7}+2)+(4x+2)\cdot(21x^{6})

Simplificando y organizando el producto obtenido nos queda:

h'(x)=84x^{7}+12x^{7}+42x^{6}+8

Sumamos términos semejantes y finalmente obtenemos la derivada:

h'(x)=96x^{7}+42x^{6}+8

Si por ejemplo tenemos la derivada del producto de tres funciones que dependen de la misma variable, podemos pensar el producto de dos de las funciones como si se tratara de una tercera función es decir

(f\cdot g\cdot h)' = (f\cdot p)'

en donde

p = g\cdot h

(sin importar que dos funciones escogemos).

Derivada de un cociente[editar]

Artículo principal: Regla del cociente

La derivada de un cociente se determina por la siguiente relación:

\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}

Para aquellos que se puedan confundir por algunas variables de más se puede escribir así:

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}

Es decir:

"La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado".

Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como ejemplo la siguiente función:

h(x)=\frac{3x+1}{2x}

Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el denominador que en este caso es

g(x)=2x

y se multiplique por la derivada del numerador que seria

f'(x)=3

; luego la segunda parte dice que tomemos la función del numerador (

f(x)

) sin derivar y lo multipliquemos por la derivada de

g(x)=2x

, que seria

g'(x)=2

, todo esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado, así:

h'(x)=\frac{(3)(2x)-(3x+1)(2)}{(2x)^{2}}

Ahora todo es cuestión de simplificar:

h'(x)=\frac{6x-6x-2}{4x^{2}}=-\frac{1}{2x^{2}}

Regla de la cadena[editar]

Artículo principal: Regla de la cadena

La regla de la cadena es una fórmula para calcular la derivada de la composición de dos o más funciones. Esto es, si f y gson dos funciones, entonces la regla de la cadena expresa la derivada de la función compuesta f ∘ g en términos de las derivadas de f y g. Por ejemplo , la regla de la cadena de f ∘ g (x) ≡ f [g (x)] es

(f \circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)

o escrito en notación de Leibniz

\frac {df}{dx} = \frac {df}{dg} \, \frac {dg}{dx} \, .

Otras reglas[editar]

Funciones inversas y diferenciación[editar]

Artículo principal: Derivada de la función inversa

y = f\left(x\right)

entonces

x = f^{-1}\left(y\right)

y si

f\left(x\right)

y su inversa

f^{-1}\left(x\right)

son diferenciables,

entonces

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}

para los casos en que

dx \ne 0

y cuando

dy \ne 0

Derivada de una variable con respecto a otra cuando ambas son funciones de una tercera variable[editar]

Sea

x = f\left(t\right)

y = g\left(t\right)

entonces

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}

Diferenciación implícita[editar]

f\left(x,y\right) \ne 0

es una función implícita,

se tiene que:

\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}

Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales[editar]

\frac{d}{dx}\left(c^{ax}\right) = {c^{ax} \ln c \cdot a } ,\qquad c > 0

Lo anterior es válido para todo c, pero para c < 0 el resultado es un número complejo.

\frac{d}{dx}\left(e^x\right) = e^x

\frac{d}{dx}\left( \log_c x\right) = {1 \over x \ln c} , \qquad c > 0, c \ne 1

Lo anterior es válido para todo c, pero para c < 0 el resultado es un número complejo.

\frac{d}{dx}\left( \ln x\right) = {1 \over x} ,\qquad x > 0

\frac{d}{dx}\left( \ln |x|\right) = {1 \over x}

\frac{d}{dx}\left( x^x \right) = x^x(1+\ln x).

Derivada de funciones trigonométricas[editar]

Artículo principal: Derivada de funciones trigonométricas

$(\sin x)' = \cos x \,$	$(\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,$
$(\cos x)' = -\sin x \,$	$(\arccos x)' = -{1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,$
$(\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,$	$(\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,$
$(\sec x)' = \sec x \tan x \,$	$(\operatorname{arcsec} x)' = { 1 \over \|x\|\sqrt{x^2 - 1}} \,$
$(\csc x)' = -\csc x \cot x \,$	$(\operatorname{arccsc} x)' = -{1 \over \|x\|\sqrt{x^2 - 1}} \,$
$(\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)\,$	$(\operatorname{arccot} x)' = -{1 \over 1 + x^2} \,$

Derivada de funciones hiperbólicas[editar]

$( \sinh x )'= \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$	$(\operatorname{arsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}$
$(\cosh x )'= \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$	$(\operatorname{arcosh}\,x)' = {\frac {1}{\sqrt{x^2-1}}}$
$(\tanh x )'= {\operatorname{sech}^2\,x}$	$(\operatorname{artanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}$
$(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x$	$(\operatorname{arsech}\,x)' = -{1 \over x\sqrt{1 - x^2}}$
$(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x$	$(\operatorname{arcsch}\,x)' = -{1 \over \|x\|\sqrt{1 + x^2}}$
$(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x$	$(\operatorname{arcoth}\,x)' = -{ 1 \over 1 - x^2}$

subtema 3.6

La regla de la cadena y de la potencia

subtema 3.7

aplicaciones alas ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal y propensión margina al ahorro.

1. El concepto de derivada y su evolución histórica:

En los programas de cálculo para carreras de economía y afines está contemplado enseñar el concepto de la derivada de una función, f, solamente desde el punto de vista de la interpretación geométrica y de la razón de cambio, aunque el profesor tenga la libertad de modificar e innovar en el contenido de los mismos. Estas dos interpretaciones son las más clásicas como se puedan leer en los libros de texto y sus causas

bien las expresan de Guzmán y Rubio.

2. Interpretaciones y notaciones

Generalmente, las dos interpretaciones que se utilizan para introducir el concepto de derivada son las de interpretación geométrica o pendiente de una recta tangente a una curva en un punto (Leibinz) y la de razónde cambio asociada a la velocidad instantánea de un móvil (Newton); pero a medida que se avanza en el curso de cálculo se llega a otras interpretaciones que se le pueden dar a la derivada, según sea el caso o

la necesidad que desde el punto de vista didáctico o profesional se desee explotar. En esta sección se hace referencia a estas dos interpretaciones y, en la siguiente, se reserva a interpretaciones económicas de la derivada. Por una parte, la interpretación geométrica se refiere a la pendiente de la recta tangente a la curva (función), f, en un punto del dominio de f; que simbólicamente se denota por f

la derivada de f en x0 ϵ Domf se define como:

Información adicional:

Además de las interpretaciones de la derivada expuestas arriba, existen muchas otras en diversos campos de las ciencias; tal es el caso de la biología y cuya utilidad se puede ver reflejada en el estudio del crecimiento de la población de un determinado ecosistema o como se ilustra en Cardús (1972), para estudiar tanto “la velocidad máxima del flujo de aire en el sistema respiratorio al toser, como la respuesta del organismo en función de la dosis de una droga”. Por otra parte, en la física, además de la velocidad instantánea se pueden conseguir interpretaciones como: Amplificación de una proyección entre rectas. La amplificación en x de una lente que proyecta el punto x de un recta sobre el punto f(x) de otra recta es la derivada de f en x.

Importante :

En este sentido, se pueden mencionar algunas interpretaciones de la derivada en las ciencias económicas como por ejemplo costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, productividad marginal y tasa de

impuesto marginal, y de esta manera enfatizar, desde el punto de vista didáctico, la importancia histórica que tiene el concepto de la derivada tanto en las matemáticas en sí mismas como en las ciencias económicas.

*lo que aprendí de derivadas es un concepto local, es decir, se calcula como el imite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado

Matematicas 1

jueves, 21 de mayo de 2015

Interpretación geométrica

Ejemplos

Derivada de una constante por una función[editar]

Derivada de una suma¹ [editar]

Derivada de un producto[editar]

Derivada de un cociente[editar]

Regla de la cadena[editar]

Otras reglas[editar]

Funciones inversas y diferenciación[editar]

Derivada de una variable con respecto a otra cuando ambas son funciones de una tercera variable[editar]

Diferenciación implícita[editar]

Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales[editar]

Derivada de funciones trigonométricas[editar]

Derivada de funciones hiperbólicas[editar]

1 comentario:

jueves, 21 de mayo de 2015

Interpretación geométrica

Ejemplos

Derivada de una constante por una función[editar]

Derivada de una suma1 [editar]

Derivada de un producto[editar]

Derivada de un cociente[editar]

Regla de la cadena[editar]

Otras reglas[editar]

Funciones inversas y diferenciación[editar]

Derivada de una variable con respecto a otra cuando ambas son funciones de una tercera variable[editar]

Diferenciación implícita[editar]

Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales[editar]

Derivada de funciones trigonométricas[editar]

Derivada de funciones hiperbólicas[editar]

1 comentario:

Derivada de una suma¹ [editar]