unidad  IV
Tema: complementarios de diferenciación 

Si una ecuación define de manera implícita a y como función de x [en vez de definirla en forma explícita, en forma y = f (x )], entonces dy/dx puede encontrarse por diferenciación implícita. Con este método, tratamos a y como una función de x  y diferenciamos ambos miembros de la ecuación con respecto a x. Al hacer esto recuerde que:

                                                                                                              

                                              

Por último, despejamos de la ecuación a dy / dx, Las fórmulas para derivar logaritmos naturales funciones exponenciales son:

Para diferenciar funciones logarítmicas y exponenciales con base diferente a e, primero la función puede transformarse a base e y luego diferenciarse el resultado. De manera alterna, pueden aplicarse las fórmulas de diferenciación

Suponga que f (x) consiste en productos, cocientes o potencias. Para diferenciar y = log[ f (x) ], puede ser conveniente usar las propiedades de los logaritmos para reescribir logh [f(x)] en términos de logaritmos más sencillos y luego diferenciar esa forma.

Para diferenciar y = f(x), donde f(x) consiste en productos, cocientes o potencias, puede utilizarse el método de diferenciación logarítmica. En este método, tomamos el logaritmo natural de ambos miembros de    y = f(x) para obtener lny = ln [f (x) ].

Después de simplificar ln [f (x) ] por medio de las propiedades de los logaritmos, diferenciamos ambos miembros de ln y = ln[f(x)] con respecto a x y luego despejamosy'. La diferenciación logarítmica se utiliza también para diferenciar y = uv  donde u y v son funciones de x.

Como la derivada f'(x) de una función y = f(x) es a su vez una función, podemos diferenciarla de manera sucesiva para obtener la segunda derivada f"(x), la tercera derivadaf'"(x) y otras derivadas de orden superior.

Subtema 4.1

Derivada de una funciones logarítmicas 

subtema 4.2

Derivadas de funciones exponenciales 

La derivada de la función exponencial ea igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

Derivada de la función exponencial de base e

La derivada de la función exponencial de base e ea igual a la misma función por la derivada del exponente.

Ejemplos

subtema 4.3

Diferenciación implícita 

v    Se dice que una función está definida explícitamente cuando se da de la forma y = f (x); esto es cuando se da y despejada en términos de x. En cambio, si en una ecuación, como por ejemplo, 2yx = cos3y, existe una función tal que y = f (x), se dice que y es una función que está definida implícitamente por la ecuación. Una ecuación en x e y puede definir a más de una función implícita.v    En muchas ocasiones no se puede resolver explícitamente una función dada en forma implícita. v    Es posible hallar la derivada de una función expresada implícitamente, sin necesidad de transformarla en su equivalente explícita.

S o l u c i  o n  e s

subtema 4.4

Diferenciación logarítmica 

subtema 4.5 

Derivadas de orden superior

Derivadas de orden superior Si  es una función diferenciable, es posible considerar su función derivada como:  para  en el dominio  de . Si para algunos valores  existe el  se dice que existe la segunda derivada de la función  que se denota por  o , que equivale a. O sea, la segunda derivada de la función  se obtiene derivando la primera derivada de la función. Ejemplos: Si  entonces:  y Si  entonces:  y derivando nuevamente Por tanto   Similarmente podemos decir que la derivada de  respecto a "x" es la tercera derivada de  respecto a "x" que se denota  o . La derivada de la tercera derivada es la cuarta derivada  y así podríamos continuar sucesivamente hasta la enésima derivada de  que se denota por o . Generalmente se habla del orden de la derivada; así la primera derivada es la derivada de primer orden, la segunda es la de segundo orden, la enésima derivada es la derivada de orden n. Ejemplos: Determinar , donde  Solución: Obtenemos primero  Luego:  y se tiene que: Determinar  Solución: Se tiene que: Por último: Si  determinar . En este caso debemos dar una forma general para la derivada de orden n, partiendo de las regularidades que se presentan en las primeras derivadas que calculemos. Así: . .

subtema 4.6

Diferenciales 

En matemáticas concretamente en cálculo diferencial, el diferencial es un objeto matemático que representa la parte principal del cambio en la linealización de una función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente. Existen diversas definiciones de diferencial en diversos contextos.

Informalmente, el diferencial dy se define en cursos introductorios mediante la expresión:

donde  es la derivada de f con respecto a x, y donde dx es una variable real adicional (de manera que dy es una función de dos variables x, y dx). La notación es tal que la expresión:

donde la derivada es representada en la notación de Leibniz dy/dx, se mantiene, y es consistente con respecto a la derivada como el cociente de diferenciales.

El significado preciso de las variables dy y dx depende del contexto de aplicación y del nivel de rigor matemático requerido. Según consideraciones matemáticas rigurosas modernas, las notaciones dy y dx son simplemente variables reales y son manipuladas como tales. El dominio de estas variables puede tomar un significado geométrico particular si el diferencial es considerado como una forma diferencial, o significado analítico si el diferencial es considerado como una aproximación lineal al incremento de una función. En aplicaciones físicas, a menudo, se requiere que las variables dx y dy sean sumamente pequeñas (infinitesimales).

Definición[editar]

Para funciones de variables reales es posible definir el diferencial rigurosamente interpretándolo como una 1-forma. Así el diferencial está definido en los tratamientos modernos del cálculo diferencial de la siguiente manera.¹ El diferencial de una función ƒ(x) de variable real  es la función df:

donde dx y df son covectores del espacio cotangente  que es isomorfo al propio . Uno, o los dos, argumentos pueden ser suprimidos: ej., se puede ver df(x) o simplemente df. Si y = ƒ(x), el diferencial también puede ser escrito dy. Dado que dx(x, Δx) = Δx es convencional escribir dx = Δx, de manera que la igualdad

se mantiene.

subtema 4.7
Aplicaciones alas ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal y propensión margina al ahorro. 

*La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud  o situación.Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica  de dos dimensiones de , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el limite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones.